1. Доказать, что для если квадратных матриц $A$ и $B$ выполнено $A^2+B^2=2AB$, то $\det(A-\lambda E)=\det (B-\lambda E)$.
Комментарий. Рассмотреть $C=(A-\lambda E)^2$. Показать, что $\det C \;\vdots\; \det(B-\lambda E)$.
Аналогично, для $(B-\lambda E)^2$.
Вывести отсюда требуемое утверждение.
Показать, что если для многочленов $f, g$ с $\deg f=\deg g$, $f^2\;\vdots\; g$, $g^2\;\vdots\; f$ и равенством коэффициентов при старших членах то $f\equiv g$.

---